宇宙学のサンプル問題

Question 1

見かけの等級が+6等、絶対等級が+1等の恒星の距離を距離指数の式から求めると、およそいくらでしょう？

Accepted Answer

約100パーセク。距離指数の式 m - M = 5 log10(d/10) を使う。m=+6、M=+1 なので m-M = 5。5 = 5 log10(d/10) → log10(d/10) = 1 → d/10 = 10 → d = 100 pc。絶対等級は10 pcの距離に置いたときの見かけの等級として定義されるため、d=10 pc なら m=M（距離指数=0）となる。「10 pc」は m-M=0 の場合（m=M=1）。「1000 pc」は m-M=10 の場合（距離指数5式で d=10^(10/5+1)=1000）。「316 pc」は m-M=5 ではなく m-M=7.5 のときに相当し、計算過程で対数の扱いを誤った場合に生じる誤答。

Question 2

低質量X線連星での伴星からの降着によって角運動量が供給され自転速度が高まった、周期1〜30msの極めて速く回転する中性子星を何というでしょう？

Accepted Answer

低質量X線連星（LMXB）での伴星からの降着によって角運動量が供給され中性子星がスピンアップした「リサイクルパルサー」機構。通常の若いパルサーは数百ミリ秒〜数秒の周期を持ちP-dot（周期微分）が大きく磁場も10^12 Gと強い。これに対してMSPは周期1〜30ms・P-dot≈10^-20・磁場≈10^8〜10^9 GでP-P-dotダイアグラムの左下に位置する。この原因は低質量X線連星（LMXB）段階で伴星から降着した物質が角運動量を供給してスピンアップさせた——「リサイクルパルサー」モデルで説明される（Alpar et al. 1982）。実証として、いくつかのLMXB（例：SAX J1808.4-3658）でアクロス周波数パルセーションが観測されている。「誕生時から高速」だとしても磁気制動で数百万年以内に減速するため数十億年維持は不可能。パルサー同士の合体は頻度が極めて低く観測的支持なし。パルサー風星雲による加速はエネルギー収支上ありえない。

Question 3

カーナビやスマートフォンで使われるGPS衛星の時刻には、相対性理論に基づく補正が行われています。この補正が必要な主な理由として正しいものはどれですか？

Accepted Answer

高速で移動し重力が弱い上空にあるGPS衛星の時計は、地上の時計と比べて進み方にわずかなずれが生じるため。GPS衛星は高速で移動しているため特殊相対性理論の効果で時計の進みが遅くなり、一方で地球より重力が弱い高度にあるため一般相対性理論の効果で時計の進みが速くなります。この2つの効果を合わせると、GPS衛星の時計は地上より1日あたり数十マイクロ秒程度進んでしまい、補正しないと位置情報に数kmもの誤差が生じます。そのため衛星には補正済みの周波数があらかじめ設定されています。衛星の周回方向や電波の送受信可否、軌道の季節変化はこの補正の理由とは無関係です。

Question 4

ウィーンの変位則によると、恒星の表面温度が高いほどスペクトルのピーク波長はどうなるでしょう？

Accepted Answer

表面温度が高いほど極大波長は短くなり（青白い光）、温度が低いほど極大波長は長くなる（赤い光）。ウィーンの変位則は「極大波長 × 表面温度 = 一定（約2.9×10^-3 m・K）」と表され、表面温度と極大波長は反比例する。太陽（約5800 K）の極大波長は約500 nm（可視光の緑付近）、リゲル（約12000 K）は約240 nm（紫外域寄り）で青白く見える。ベテルギウス（約3500 K）は約830 nm（赤外域寄り）で赤く見える。「比例する」は真逆で、温度2倍なら極大波長は半分になる（反比例）。極大波長が変化しないという選択肢はシュテファン-ボルツマン則（放射エネルギー総量が変化する）と混同した誤りである。

Question 5

ハーバード分類のO・B・A・F・G・K・Mというスペクトル型の中で、水素バルマー吸収線が最も強く現れる型はどれでしょう？

Accepted Answer

A型（表面温度約7500〜10000 K）。バルマー系列は水素原子の電子が主量子数 n=2 の準位から遷移するときに生じる吸収線で、この準位に電子が存在する確率が最大になる温度でバルマー線は最強になる。A型（約10000 K）では n=2 準位に電子が最も多く存在し、最強のバルマー吸収線（Hα, Hβ等）が現れる。O型はあまりにも高温なため水素がほぼ完全電離しており n=2 に電子が少ない。G型はやや低温で n=2 より基底状態（n=1）に電子が落ちており、バルマー線より金属線（Fe・Ca等）が顕著になる。M型はさらに低温で分子（TiO等）の吸収帯が支配的となり水素線は弱い。

Question 6

ケプラーの第一法則によれば、惑星の公転軌道の形と太陽の位置について正しいものはどれですか？

Accepted Answer

惑星は太陽を焦点の一つとする楕円軌道を描いて公転する。ケプラーの第一法則（楕円軌道の法則）は、惑星が太陽を2つの焦点のうち一つとする楕円軌道を描いて公転することを示しています。これは、ティコ・ブラーエの詳細な観測データをもとにケプラーが導いた法則で、それまで信じられていた完全な円軌道という考え方を覆しました。楕円軌道であるため、惑星と太陽の距離は公転の位置によって変化し、最も近い点を近日点、最も遠い点を遠日点と呼びます。円軌道は古い天動説・地動説モデルの前提であり誤り、放物線・双曲線は太陽系を脱出する彗星や探査機の軌道に近い概念で、通常の惑星の公転軌道ではありません。

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