数学のサンプル問題

Question 1

線形写像 T の「核（kernel）」について、次のうち正しい説明はどれでしょう？

Accepted Answer

T(v) = 0 となるベクトル v の集合。ker(T) = {v ∈ R^n | T(v) = 0} で、ゼロベクトルに写されるすべてのベクトルの集合。「T によって写されるすべてのベクトル」は「像（image/range） Im(T)」の定義で、ker と im は双対的な概念。「R^n そのもの」は定義域であり核の定義ではない。「スカラー値」は行列式など別の概念で、核はあくまでベクトルの集合（部分空間）。次元定理（rank-nullity theorem）: dim(ker T) + dim(Im T) = n という美しい関係が成り立つ。

Question 2

月曜日から金曜日までの5日間で合計350冊が貸し出されました。1日あたり平均何冊が貸し出されたことになりますか？

Accepted Answer

70冊。正解は350÷5=70冊です。これは「合計を日数で割る」という平均値の定義そのもの—データ全体を等分した時の1単位あたりの量を求める問題です。平均は実生活で「1日あたりの売上」「学年の平均点」など、ばらつきのあるデータを統一的に比較するために使われます。単位量の考え方は比例関係を理解する基礎になります。「75冊」は5日間を4日で割った誤り、「80冊」は小さい桁の読み間違い、「65冊」は計算過程での足し忘れの誤りで、いずれも計算段階で躓きやすいポイントです。

Question 3

ヒルベルト空間上で、連続かつ強圧的（coercive）な双一次形式に対し、対応する変分問題の解の存在と一意性を保証する関数解析の定理はどれでしょう？

Accepted Answer

ラックス・ミルグラムの定理。ラックス・ミルグラムの定理は、ヒルベルト空間上の双一次形式が連続性（有界性）と強圧性（coercivity）を満たすとき、対応する弱形式の解が一意に存在することを保証し、楕円型偏微分方程式の弱解の理論的な土台になります。リースの表現定理は、対称かつ有界な内積の場合に相当し、ラックス・ミルグラムはその非対称な場合への一般化と位置づけられます。バナッハの不動点定理は縮小写像の不動点の存在と一意性を述べる定理で、双一次形式の強圧性を扱うものではありません。ストーンの定理はユニタリ群の生成作用素に関する定理で、変分問題の可解性とは対象が異なります。

Question 4

曲面上の点における主曲率をκ_1、κ_2とするとき、ガウス曲率Kと平均曲率Hを主曲率で表した式の正しい組み合わせはどれでしょう？

Accepted Answer

K = κ_1・κ_2 かつ H = (κ_1 + κ_2) / 2。ガウス曲率Kは二つの主曲率の積κ_1・κ_2、平均曲率Hはその相加平均(κ_1 + κ_2)/2で定義されます。積であるKは曲面の内在的な曲がり（ガウスの驚異の定理により曲げ変形に不変）を表し、平均であるHは空間への埋め込み方に依存する量です。KとHの役割（積と平均）を入れ替えた組み合わせは定義に反します。Hを主曲率の和そのものとするものは、平均をとる係数2分の1が抜けており誤りです。Kを二乗の和とするものは、積で定義される本来のガウス曲率と一致せず誤りです。

Question 5

優収束定理（ルベーグの収束定理）が成立するとき、次のうち正しい等式はどれでしょう？

Accepted Answer

lim_{n→∞} ∫ f_n dμ = ∫ f dμ。ルベーグの優収束定理は「|f_n| ≤ g なる可積分支配関数 g が存在し f_n → f a.e. ならば lim ∫ f_n = ∫ f」と述べる。積分と極限の交換を保証する中核的な定理である。第2選択肢は lim sup に関するものとして意味が曖昧で、一般には等号は成立しない。第3選択肢はファトゥの補題で、これは非負関数に対する不等式 ∫ lim inf f_n ≤ lim inf ∫ f_n であり等号でも優収束定理でもない。第4選択肢は単調収束定理の条件と混同したもので、優収束定理では単調性は不要。

Question 6

過去の情報が与えられたとき、次の時点での期待値が常に現在の値に等しくなる（公正な賭けをモデル化した）確率過程を何というでしょう？

Accepted Answer

マルチンゲール。マルチンゲールは、これまでの情報のもとでの次の値の条件付き期待値が現在の値に一致する確率過程で、勝ち負けの偏りがない公正な賭けを数学的に表します。L^1有界なマルチンゲールはほとんど確実に収束し、さらにL^1収束するには一様可積分性が必要という収束定理が成り立ちます。マルコフ連鎖は、未来が現在の状態だけで決まる（過去に依存しない）過程で、期待値が現在値に等しいという条件を必ずしも満たしません。ポアソン過程は一定の割合で事象が起こる計数過程で、値が単調に増えるためマルチンゲールとは性質が異なります。定常過程は時間をずらしても統計的性質が変わらない過程を指し、期待値が現在値に一致するというマルチンゲールの条件とは定義が異なります。

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