謎解き・論理のサンプル問題

Question 1

商店街のルール：「赤い看板の店は必ず食料品を扱う」。このルールのもとで「食料品を扱わない店がある」という事実が判明しました。この事実から対偶の論理によって確実に言えることはどれでしょう？

Accepted Answer

赤い看板でない店が存在する。「PならばQ」の対偶を使う推論は間違えやすく、1966年のウェイソン選択課題では大学生でも正答率が1割前後にとどまりました。ルール「赤い看板→食料品を扱う」の対偶は「食料品を扱わない→赤い看板でない」で、元のルールと必ず同時に成り立ちます。食料品を扱わない店があるので、その店は赤い看板ではなく、赤い看板でない店が存在すると確実に言えます。「すべての店が赤い看板でない」は分かったのが1軒だけなので言いすぎです。「赤い看板の店が少なくとも1軒ある」はルールも事実も保証しません。「赤い看板でない店は食料品を扱わない」は元のルールの裏で、導けません。

Question 2

ある町の信号機は、青信号の時間が赤信号の時間の1.5倍です。赤信号が40秒間続く場合、1サイクル（赤→青→黄）の総時間は何秒でしょうか？ただし黄信号は10秒間です。

Accepted Answer

110秒。実際の信号機では黄色の時間は3秒前後が一般的で、この問題の10秒はかなり長めの設定です。解き方は、赤40秒・青 40×1.5=60秒・黄10秒を全部足して 40+60+10=110秒です。「100秒」は黄信号の10秒を足し忘れた値、「90秒」は青を赤と同じ40秒とした値（40+40+10）、「130秒」は1.5倍を2倍と取り違えて青を80秒とした値（40+80+10）です。倍の計算を確かめたうえで、赤・青・黄の3つを漏れなく足すことが大切です。

Question 3

ある工場では、製品Aの生産に3時間、製品Bの生産に2時間かかります。工場は1日12時間稼働でき、製品Aは1個あたり5000円、製品Bは1個あたり3000円の利益が出ます。利益を最大化するには、1日に製品Aを何個生産すべきでしょう？

Accepted Answer

4個。限られた資源の配分で利益を最大にするこの種の問題は線形計画法と呼ばれ、1947年にダンツィクが単体法（シンプレックス法）を考案してから実用化が進みました。1時間あたりの利益は、製品Aが 5000÷3≒1667円、製品Bが 3000÷2=1500円でAのほうが効率的です。12時間をすべてAに使うと 12÷3=4個作れて利益は20000円になります。「0個」はB6個で18000円、「3個」はA3個とB1個で11時間しか使えず18000円、「2個」はA2個とB3個で19000円と、いずれも4個より少なくなります。

Question 4

「数学のテストで80点以上を取った生徒は、必ず放課後の特別講座に参加する」という決まりが守られています。特別講座に参加したBさんと、参加しなかったCさんについて、確実に言えることはどれでしょう？

Accepted Answer

Cさんは80点未満だが、Bさんの点数は決まらない。逆と裏は互いに対偶の関係にあるため、逆が正しければ裏も必ず正しく、逆が誤りなら裏も必ず誤りになります。この決まりに反するのは「80点以上なのに参加しない」生徒だけです。参加しなかったCさんがもし80点以上なら決まりに反するので、Cさんは80点未満と確定します（対偶「参加しない→80点未満」）。一方、決まりは80点未満の生徒が参加することを禁じていないので、参加したBさんは80点以上とも未満とも決まりません（逆「参加する→80点以上」は導けない）。「Bさんは80点以上」を含む2つは逆を正しいと思い込んだ誤り、「BさんもCさんも決まらない」は、参加しなかったCさんについて確定できることを見落とした誤りです。

Question 5

あるレストランでは「全料理にソースAかスパイスB、もしくはその両方が必ず使われる」というルールが徹底されている。今日の特別メニューにはソースAが使われていなかった。このメニューについて論理的に確実に言えることはどれでしょう？

Accepted Answer

Bが含まれている。日常会話の「または」は「どちらか一方」を指すことが多いのに対し、論理学の「または」は両方成り立つ場合も含み、一方だけの意味で使いたいときは「排他的論理和（XOR）」と区別して呼びます。この問題のルールは「AかBか、その両方」なので包含的な「または」です。解き方は、Aが使われていない今日のメニューがルールを満たす方法を考えることで、残る手段はBを使うことだけです。よって「Bが含まれている」が確実に言えます。「Aが含まれている」は事実と矛盾し、「どちらも含まれていない」はルール違反です。「ほかの料理にはすべてAが使われている」は、他の料理がBだけでルールを満たしていてもよいので確実には言えません。

Question 6

ある企業の採用基準：「TOEIC 700点以上 または 実務経験3年以上」の少なくとも一方を満たす人を採用する。ド・モルガンの法則を踏まえ、この基準を満たさない人の特徴を正しく表しているのはどれでしょう？

Accepted Answer

TOEIC 700点未満 かつ 実務経験3年未満である。ド・モルガンの法則は19世紀イギリスの数学者オーガスタス・ド・モルガンの名で呼ばれますが、同じ内容は14世紀の論理学者オッカムのウィリアムもすでに書き残しています。「(A または B) でない」は「(A でない) かつ (B でない)」に変わるので、採用されない人は TOEIC 700点未満で、しかも実務経験3年未満の人です。「TOEIC 700点以上 または 実務経験3年未満」は、否定のときに「または」をそのまま残した典型的な混同です。「700点以上」で始まるほかの2つは基準を満たす側の条件で、逆方向になっています。

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