謎解き・論理のサンプル問題

Question 1

3組の括弧（開き括弧3個と閉じ括弧3個）を、対応が正しく取れるように一列に並べる方法は全部で何通りあるでしょう？

Accepted Answer

5通り。正しい並べ方は ((()))、(()())、(())()、()(())、()()() の5通りです。この個数はカタラン数と呼ばれる数列 1, 1, 2, 5, 14, 42, … の一項で、n組の括弧の並べ方は公式 C(2n,n)÷(n+1) で計算できます（n=3なら20÷4=5）。カタラン数は括弧の対応のほかにも、凸多角形の三角形分割や格子上の経路の数え上げなど、組合せ論のあちこちに顔を出す重要な数です。6通りは3つの物の並べ替え 3!=6 と混同した値で、括弧の問題には当てはまりません。8通りは各位置で2択を独立に選べると考えた2の3乗に近い発想ですが、開きと閉じの個数や順序の制約を無視しています。4通りは数え落としによる誤りで、(()()) と (())() のような似た形を見逃すと起こりがちです。

Question 2

8×8のチェス盤から対角に位置する2つの隅マスを取り除いた62マスを、1×2のドミノで完全に覆えるでしょうか。チェス盤の不変量（白黒の枚数）の観点から正しい答えはどれでしょう？

Accepted Answer

できない。取り除いた2マスは同色（チェス盤で対角の隅は同じ色）であり、ドミノは必ず白と黒を1枚ずつ覆うため、残り62マスは白30・黒32（または白32・黒30）で対称でなく覆えない。チェス盤の対角の隅はどちらも同じ色（例: 左上と右下はどちらも白）。標準チェス盤では白32・黒32だが、同色2マスを除くと白30・黒32（または白32・黒30）になる。ドミノ1枚は必ず白1・黒1を覆う（隣接する2マスは必ず異なる色）。31枚のドミノで白31・黒31を覆う必要があるが、白30・黒32では不可能。この「不変量」による証明は、問題の局所的な境界条件や連結性を調べる手法より強力で単純。「62は偶数だから覆える」はドミノの色制約を無視した誤り。「端のマスで境界ができる」は感覚的で正確でない。「連結なら完全マッチングが存在する」はバートランドの定理など誤用——2部グラフの完全マッチングには等サイズの2部集合が必要（ホールの結婚定理）。

Question 3

クレタ人のエピメニデスが「クレタ人は皆嘘つきだ」と述べました。この文の論理的性質として正しいのはどれでしょう？

Accepted Answer

自己言及的な矛盾（パラドックス）ではなく、単に偽と確定できる。「全クレタ人が嘘つき」かつ「エピメニデスはクレタ人」なら、エピメニデスも嘘つき→彼の発言は偽→「全クレタ人が嘘つき」は偽。つまりクレタ人の中に正直者がいる。これは矛盾ではなく「偽」と確定できる。完全なパラドックスではない。パラドックスになるのは一人だけがいて「私は嘘つきだ」と言う「嘘つきパラドックス」。エピメニデスの場合、他のクレタ人が正直者でも矛盾しないため、単純に偽と結論できる。「文脈による」は誤りで、前提（エピメニデスがクレタ人）が固定されれば偽と確定する。「無意味文」でもなく論理的に処理できる。

Question 4

4人がプレゼントを1つずつ持ち寄って交換するとき、4人の誰もが自分の持ってきたプレゼントを受け取らないような配り方は何通りあるでしょう？

Accepted Answer

9通り。誰も自分の物を受け取らない並べ替えは「完全順列（攪乱順列、モンモール数）」と呼ばれ、4人の場合は9通りです。全体の並べ替え 4!=24通りから、包除原理で「誰かが自分の物を受け取ってしまう」場合を除くと 24×(1−1+1/2−1/6+1/24)=9 と計算できます。完全順列の数は n! を自然対数の底 e で割った値に非常に近く、24÷2.718…≒8.83 を四捨五入しても9が得られます。人数を増やすと「誰も自分の物に当たらない確率」は約36.8%（1/e）に収束するという美しい性質もあります。24通りは「自分の物は受け取らない」という制約を忘れた全並べ替えの数です。12通りはその半分という根拠のない値です。6通りは 3!=6 との混同で、4人の完全順列の数とは一致しません。

Question 5

数列「1, 4, 9, 16, □」の□に入る数はどれですか？

Accepted Answer

25。各項は 1²=1、2²=4、3²=9、4²=16 と「自然数の 2 乗」になっています。よって第 5 項は 5²=25 です。「20」は +3,+5,+7 という差の増加に気づいていても最後を誤算した場合、「23」は差の規則を +2,+4,+6,+8 と誤読した場合、「36」は 6²=36 と「次の 2 乗」を 1 個飛ばして見た場合に出ます。平方数は見た目に出やすい数列なので、まず「2 乗でないか」を疑うのが効率的です。

Question 6

A は B より 5 歳年上、B は C より 3 歳年下です。A と C の年齢差は何歳ですか？

Accepted Answer

2 歳（A が上）。B は C より 3 歳年下なので C = B + 3 です。A = B + 5 なので、A - C = (B+5) - (B+3) = 2 となり A が 2 歳上です。「8 歳（A が上）」は 5+3=8 と差を足した場合（向きを考えなかったミス）、「2 歳（C が上）」は向きを逆に誤解した場合、「8 歳（C が上）」は足し算かつ向きも誤った場合です。「年下」「年上」の向きに注意しながら不等式を整理することが大切です。

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